TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 193

O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando exposto a uma radiação eletromagnética(como a luz) de frequência suficientemente alta, que depende do material, como por exemplo a radiação ultravioleta. Ele pode ser observado quando a luz incide numa placa de metal, arrancando elétrons da placa. Os elétrons ejetados são denominados fotoelétrons.^[1]

Observado pela primeira vez por A. E. Becquerel em 1839 e confirmado por Heinrich Hertz em 1887,^[2] o fenômeno é também conhecido por "efeito Hertz",^[3]^[4] não sendo porém este termo de uso comum.

De acordo com a teoria eletromagnética clássica, o efeito fotoelétrico poderia ser atribuído à transferência de energia da luz para um elétron. Nessa perspectiva, uma alteração na intensidade da luz induziria mudanças na energia cinética dos elétrons emitidos do metal. Além disso, de acordo com essa teoria, seria esperado que uma luz suficientemente fraca mostrasse um intervalo de tempo entre o brilho inicial de sua luz e a emissão subsequente de um elétron. No entanto, os resultados experimentais não se correlacionaram com nenhuma das duas previsões feitas pela teoria clássica.

Em vez disso, os elétrons são desalojados apenas pelo impacto dos fótons quando esses fótons atingem ou excedem uma frequência limite (energia). Abaixo desse limite, nenhum elétron é emitido do material, independentemente da intensidade da luz ou do tempo de exposição à luz (raramente, um elétron irá escapar absorvendo dois ou mais quanta; no entanto, isso é extremamente raro porque ao absorver quanta suficiente para escapar, o elétron provavelmente terá emitido o resto dos quanta absorvidos). Para dar sentido ao fato de que a luz pode ejetar elétrons mesmo que sua intensidade seja baixa, Albert Einstein propôs que um feixe de luz não é uma onda que se propaga através do espaço, mas uma coleção de pacotes de ondas discretas (fótons), cada um com energia. Isso esclareceu a descoberta anterior de Max Planck da relação de Planck (E = hν), ligando energia (E) e frequência (ν) como decorrentes da quantização de energia. O fator h é conhecido como a constante de Planck.^[5]^[6]^[1] A explicação satisfatória para o efeito fotoelétrico, dada em 1905 por Albert Einstein, deu ao cientista alemão o prêmio Nobel de Física de 1921.

Tomemos um exemplo: a luz vermelha de baixa frequência estimula os elétrons para fora de uma peça de metal; na visão clássica, a luz é uma onda contínua cuja energia está espalhada sobre a onda. Todavia, quando a luz fica mais intensa, mais elétrons são ejetados, contradizendo, assim a visão da física clássica que sugere que os mesmos deveriam se mover mais rápido (energia cinética) do que as ondas incidentes.

Quando a luz incidente é de cor azul, essa mudança resulta em elétrons muito mais rápidos. A razão é que a luz pode se comportar não apenas como ondas contínuas, mas também como feixes discretos de energia chamados de fótons. Um fóton azul, por exemplo, contém mais energia do que um fóton vermelho. Assim, o fóton azul age essencialmente como uma "bola de bilhar" com mais energia, desta forma transmitindo maior movimento a um elétron. Esta interpretação corpuscular da luz também explica por que a maior intensidade aumenta o número de elétrons ejetados - com mais fótons colidindo no metal, mais elétrons têm probabilidade de serem atingidos.

Aumentar a intensidade de radiação que provoca o efeito fotoelétrico não aumenta a velocidade dos fotoelétrons, mas aumenta o número de fotoelétrons. Para se aumentar a velocidade dos fotoelétrons, é necessário excitar a placa com radiações de frequências maiores e, portanto, energias mais elevadas.^[1]

Equações[editar | editar código-fonte]

Analisando o efeito fotoelétrico quantitativamente usando o método de Einstein, as seguintes equações equivalentes são usadas:

Energia do fóton = Energia necessária para remover um elétron + Energia cinética do elétron emitido

Mais detalhes em: Energia do fóton

Algebricamente:

hf=\phi +E_{c_{max}}\,

Onde:

h é a constante de Planck,
f é a frequência do foton incidente,
$\phi =hf_{0}\$ é a função trabalho, ou energia mínima exigida para remover um elétron de sua ligação atômica,
$E_{c_{max}}={\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}$ é a energia cinética máxima dos elétrons expelidos,
f₀ é a frequência mínima para o efeito fotoelétrico ocorrer,
m é a massa de repouso do elétron expelido, e
v_m é a velocidade dos elétrons expelidos.

Notas:

Se a energia do fóton (hf) não é maior que a função trabalho (

\phi

), nenhum elétron será emitido. A função trabalho é ocasionalmente designada por

W

Em física do estado sólido costuma-se usar a energia de Fermi e não a energia de nível de vácuo como referencial nesta equação, o que faz com que a mesma adquira uma forma um pouco diferente.

Note-se ainda que ao aumentar a intensidade da radiação incidente não vai causar uma maior energia cinética dos elétrons (ou electrões) ejectados, mas sim um maior número de partículas deste tipo removidas por unidade de tempo.

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI]

hf=\phi +E_{c_{max}}\,

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI]

E_{c_{max}}={\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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segunda-feira, 29 de abril de 2019

Em física, o efeito Compton, ou espalhamento Compton, é o espalhamento de um fóton por uma partícula carregada, geralmente um elétron, que resulta em uma diminuição da energia (aumento do comprimento de onda) do fóton espalhado, tipicamente na faixa de raios-X ou de raios gama. Como a relação de dispersão para partícula livre exibe dependência com o quadrado de seu momento, E = P²/(2m), ao passo que a relação de dispersão para fótons é linear em relação ao momento, E=P C, a conservação simultânea do momento e da energia é praticamente inviável na interação com partícula livre, onde as referidas leis de conservação implicam a emissão de um segundo fóton a fim de serem satisfeitas.

Em materiais cristalinos um fônon pode tomar parte no processo ao invés de um fóton. Considerando-se o momento cristalino da partícula, a absorção completa do fóton torna-se viável, sendo importante em espectroscopia de fotoelétrons.

Há também o espalhamento Compton inverso, processo onde o fóton ganha energia pela interação com a matéria. A variação total no comprimento de onda, positivo ou negativo, é denominada variação Compton.

O Efeito Compton foi observado por Arthur Holly Compton em 1923, e posteriormente verificado por seu aluno Y. H. Woo nos anos seguintes^[1]. Compton ganhou o prêmio Nobel de Física em 1927 pela descoberta.^[2]

O efeito é importante por mostrar que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O Espalhamento Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não poderia explicar uma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se fosse constituída de partículas para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momento e a energia totais do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de baixa energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, junto ao efeito Fotoelétrico.

Fórmula da variação de Compton]

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz.

Luz como uma partícula;
Dinâmica Relativística;
Trigonometria.

O resultado final nos dá a Equação do Espalhamento de Compton:

\lambda _{2}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })+\lambda _{1}

ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde

\lambda _{1}

é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

\lambda _{2}

é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

{\frac {h}{m_{e}c}}

é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é 2.43×10^-12 m.

Dedução[editar | editar código-fonte]

A partir da conservação da energia, temos:

E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,

X

ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Onde

E_{\gamma }

é a energia do fóton antes da colisão e

E_{e}

é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso. As variáveis com apóstrofo indicam as energias após a colisão.

Compton postulou que os fótons carregam o momento; portanto, a partir da conservação do momento, o momento das partículas deve ser similarmente relacionado por

{\vec {p}}_{\gamma }+{\vec {p_{e}}}={\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{e'}}}\,

onde

E=hf=pc

E assumindo que o elétron está inicialmente em repouso :

p_{e}=0

{\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}}\,

{\vec {p_{e'}}}^{2}={({\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}})}^{2}

{\vec {p_{e'}}}^{2}={\vec {p_{\gamma }}}^{2}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}^{2}

{\vec {p_{e'}}}\cdot {\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma }}}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}

{p_{e'}}^{2}\cdot \cos(0)=p_{\gamma }^{2}\cdot \cos(0)-2\cdot p_{\gamma }\cdot p_{\gamma '}\cdot \cos(\theta )+p_{\gamma '}^{2}\cdot \cos(0)

O termo

\cos(\theta)

aparece porque o momento está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto de suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo

p_{\gamma }

por

{\frac {hf}{c}}

p_{\gamma '}

por

{\frac {hf'}{c}}

, nós obtemos

p_{e'}^{2}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}

Agora nós completamos a parte da energia:

E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,

hf+mc^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}\,

Nós resolvemos esta por p_e':

(hf+mc^{2}-hf')^{2}=(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}\,

{\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}=p_{e'}^{2}\,

Então nós temos duas equações por

p_{e'}^{2}

, da qual nós igualamos:

{\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}

Agora é apenas uma questão de reescrever:

h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,

-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,

hff'-(f-f')mc^{2}=hff'\cos {\theta }\,

hff'(1-\cos {\theta })=(f-f')mc^{2}\,

h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c}{\lambda }}-{\frac {c}{\lambda '}}\right)mc^{2}

h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c\lambda '}{\lambda \lambda '}}-{\frac {c\lambda }{\lambda '\lambda }}\right)mc^{2}

h(1-\cos {\theta })={\frac {\lambda '}{c}}{\frac {\lambda }{c}}\left({\frac {c\lambda '}{\lambda '\lambda }}-{\frac {c\lambda }{\lambda \lambda '}}\right)mc^{2}

h(1-\cos {\theta })=\left({\frac {\lambda '}{c}}-{\frac {\lambda }{c}}\right)mc^{2}

{\frac {h}{mc}}(1-\cos {\theta })=\lambda '-\lambda

Dedução Alternativa[editar | editar código-fonte]

Consideremos a situação ilustrada na figura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron e^- inicialmente em repouso, após a colisão, fóton e elétron são espalhados sob ângulos

\theta

\phi

respectivamente.

A conservação do momento linear na direção vertical nos diz

\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Antes}}=\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad 0=-p_{e}\sin {\phi }+p_{f}\sin {\theta }

Assim

\sin {\phi }={p_{f} \over p_{e}}\sin {\theta }

A conservação do momento linear na direção horizontal nos diz:

\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Antes}}=\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad p_{0f}+0=p_{f}\cos {\theta }+p_{e}\cos {\phi }

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

\cos {\phi }={\sqrt[{2}]{1-\sin ^{2}{\phi }}}={\sqrt[{2}]{{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta } \over {p_{e}}^{2}}}

Assim

p_{0f}=p_{f}\cos {\theta }+p_{e}{\sqrt[{2}]{{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta } \over {p_{e}}^{2}}}\Rightarrow p_{0f}=p_{f}\cos {\theta }+{\sqrt[{2}]{{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta }}}

Sabemos que

p_{0f}={\frac {E_{0}}{c}}

p_{f}={\frac {E}{c}}

onde c é a velocidade da luz no vácuo e

E_0

E

são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

{\frac {E_{0}}{c}}={\frac {E}{c}}\cos {\theta }+{{\sqrt[{2}]{{p_{e}}^{2}{c}^{2}-{E^{2}}\sin ^{2}{\theta }}} \over c}\Rightarrow {p_{e}}^{2}{c}^{2}={E^{2}}+{E_{0}}^{2}-2E{E}_{0}\cos {\theta }

Usaremos agora a conservação da energia

\underbrace {E_{e}+E_{0}} _{\text{Antes}}=\underbrace {E_{e}+E_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad {m_{e}}c^{2}+E_{o}=E+{\sqrt[{2}]{{m_{e}}^{2}c^{4}+{p_{e}}^{2}c^{2}}},

Substituindo o último resultado obtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

{m_{e}}c^{2}+E_{o}=E+{\sqrt[{2}]{{m_{e}}^{2}c^{4}+{E^{2}}+{E_{0}}^{2}-2E{E}_{0}\cos {\theta }}}\Rightarrow -2E{E}_{0}+2{m_{e}}c^{2}(E_{o}-E)=-2E{E}_{0}\cos {\theta },

Resolvendo essa equação para E temos

E={1 \over {(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{1 \over E_{o}}}\Rightarrow {1 \over E}={(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{1 \over E_{o}},

Sabemos que

E=h\nu ={hc \over \lambda }

Então chegamos assim ao resultado desejado

{\lambda  \over hc}={(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{\lambda _{0} \over hc}\Rightarrow \lambda -\lambda _{0}={h \over {m_{e}}c}(1-\cos {\theta })

Onde a quantidade

{h \over {m_{e}}c}

é chamada de comprimento de onda Compton do elétron.

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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mecânica TRANSICIONAL Graceli se fundamenta nas mudanças de fases de estados, fases de isótopos, de estrutura atômica e molecular, [ FASES DE ESTADOS, ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES CATEGORIAIS] com variáveis de movimentos, interações, transformações, temperatura, densidade e pressão, e outros, e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli [SDC Graceli]. E FENÔMENOS E ENERGIAS E VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS QUE ACONTECEM DENTRO DAS ESTRUTURAS E ENERGIAS.

um ferromagnético sendo derretido a 300 graus Celsius tem uma realidade física e química, e com variações quântica e orbitais, elétrica, termodinâmicas, mecãnicas, e outros diferentes de um derretimento a 350 graus.

o mesmo serve para outros materiais e com outras variações levando a um indeterminismo transcendente, categorial e decadimensional Graceli.

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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O sistema decadimensional e categorial Graceli pode ser visto como um outro ramo da física e da física, onde envolve condições da matéria e da energia, fenômenos e dimensões, realçados por categorias.

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.

Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.

E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.

E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.

Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.

Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.

Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.

A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.

Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.

Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.

Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.

Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.

Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.

Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.

Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo, e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.

Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

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1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

sexta-feira, 26 de abril de 2019

Calor específico é uma grandeza física intensiva que define a variação térmica de determinada substância ao receber determinada quantidade de calor. Também é chamado de capacidade térmica mássica. A unidade no SI é

J/(kg.K)

(joule por quilograma e por kelvin). Uma unidade usual bastante utilizada para calores específicos é cal/(g.°C) (caloriapor grama e por grau Celsius).^[1]

Em rigor há dois calores específicos distintos: o calor específico a volume constante

c_{v}

e o calor específico a pressão constante

c_{p}

. O calor específico a pressão constante é geralmente um pouco maior do que o calor específico a volume constante, sendo a afirmação verdadeira para materiais com coeficientes de dilatação volumétrico positivos. Em virtude do aumento de volume associado à dilatação térmica, parte da energia fornecida na forma de calor é usada para realizar trabalho contra o ambiente a pressão constante e não para aumentar a temperatura em si; o aumento de temperatura experimentado para um sistema à pressão constante é pois menor do que aquele que seria experimentado pelo mesmo sistema imposto o volume constante uma vez mantida a mesma transferência de energia na forma de calor. No caso do calor específico a volume constante, toda a energia recebida na forma de calor é utilizada para elevar a temperatura do sistema, o que faz com que

c_{v}

— em virtude de sua definição — seja um pouco menor. A diferença entre os dois é particularmente importante em gases; em sólidos e líquidos sujeitos a pequenas variações de volume frente às variações de temperatura, os valores dos dois na maioria das vezes se confundem por aproximação. Em análise teórica e de precisão, contudo, é importante a diferenciação dos dois.

Materiais com dilatação anômala, como a água entre 0 °C e 4 °C, não obedecem à regra anterior; nestes casos o calor específico a volume constante é então um pouco maior do que o calor específico a pressão constante.

Formalismo

O calor específico (

c\,\!

) de uma substância pode ser definido a partir da capacidade térmica (

C\,\!

) de um corpo composto por ela como o quociente desta pela massa (

m\,\!

) desse corpo.^[2] Matematicamente,

c={\frac {C}{m}}\,\!

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

A capacidade térmica, por sua vez, é definida como a razão entre calor recebido e variação de temperatura observada. Assim, o calor específico pode ser expresso como:

c={\frac {1}{m}}{\frac {\delta Q}{\delta T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Por essa última relação, nota-se que o calor específico depende do processo pelo qual o calor é cedido à substância. Usando a primeira lei da termodinâmica, com

p

sendo a pressão, pode-se escrever:

c={\frac {1}{m}}{\frac {{\mathrm {d}}U+p{\mathrm {d}}V}{{\mathrm {d}}T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Dois casos particulares são de maior importância. Um deles é o calor específico a volume constante, onde o termo representando o trabalho (

p{\mathrm {d}}V

) é nulo, e pela relação anterior

c_{v}={\frac {1}{m}}{\frac {{\mathrm {d}}U}{{\mathrm {d}}T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

O segundo caso é o calor específico a pressão constante. Nesse caso, a equação anterior resulta em

c_{p}={\frac {1}{m}}{\frac {{\mathrm {d}}\left(U+pV\right)}{{\mathrm {d}}T}}

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

onde a nova função de estado

H=U+pV

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

é entalpia do sistema.^[3]

A distinção entre esses dois calores específicos pode normalmente ser ignorada nas fases sólida e líquida, dado que essas substâncias normalmente sofrem uma variação de volume muito pequena. Gases, no entanto, apresentam grande expansão térmica, sendo sempre necessária a distinção entre ambos os calores específicos.

Calor específico molar[editar | editar código-fonte]

Em muitas circunstâncias a unidade mais conveniente para especificar a quantidade de uma substancia é o mol, definido como sendo uma quantidade de 6,02 x 10²³ unidades elementares de qualquer substância. Assim, por exemplo um mol de alumínio significa 6,02 x 10²³ átomos de alumínio (o átomo é a unidade elementar), e 1 mol de óxido de alumínio significa 6,02 x 10²³ fórmulas moleculares do composto.

Nesses casos, quando a quantidade de substância é expressa em moles, utiliza-se o chamado calor específico molar, que é expresso como sendo a capacidade térmica por mol.^[4] De forma análoga com o calor específico por massa, o calor específico molar depende do processo ao qual a substância é submetida; define-se de mesma forma as quantidades a pressão constante e a volume constante.

Calor específico molar a volume constante[editar | editar código-fonte]

O calor específico molar a volume constante é definido como:

c_{v}={\frac {Q}{n\Delta T}}={\frac {\Delta U}{n\Delta T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sendo que,

\Delta U=Q-W

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

D (primeira lei da termodinâmica) com o trabalho

W=0

temos

\Delta U=Q

,por se tratar de um processo a volume constante.

onde:

$Q$ é o calor absorvido ou cedido por uma amostra de $n$ moles de um gás;
$\Delta T$ é a variação de temperatura resultante;
$\Delta U$ é a variação de energia interna.

Para um gás monoatômico ideal,

c_{v}={\frac {3}{2}}R=12,5J/mol/K

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

Calor específico molar a pressão constante[editar | editar código-fonte]

O calor específico molar a pressão constante é definido como:

c_{p}={\frac {Q}{n\Delta T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sendo que temos as seguintes relações:

Q=U+W

(primeira lei da termodinâmica) e

W=p\Delta V

. Relacionando o trabalho com a equação dos gases ideais

pV=nRT

ficamos com

W=nR\Delta T

. Substituindo a as respectivas equações mais a equação

c_{v}={\frac {\Delta U}{n\Delta T}}

na equação

Q=U+W

ficamos com

c_{p}=c_{v}+R

onde:

$Q$ é o calor absorvido ou cedido por uma amostra de $n$ mols de um gás;
$\Delta T$ é a variação de temperatura resultante;
$\Delta U$ é a variação de energia interna.

Regra de Dulong-Petit[editar | editar código-fonte]

A regra de Dulong-Petit consiste em obter, aproximadamente, o calor específico das substâncias por meio da massa molar:

c\cong {\frac {3R}M}

x

ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Em que:

$c$ é o calor específico, em joule por quilograma kelvin (J.kg⁻¹.K⁻¹);
$R$ é a constante dos gases reais, equivalente a 8,31 joules por mol kelvin (J.K⁻¹.mol⁻¹);
$M$ é a massa molar, em quilograma por mol (kg/mol).

Determinação experimental do calor específico de uma substância[editar | editar código-fonte]

Calorímetro

A capacidade calorífica de um corpo é determinada com ajuda de um calorímetro e um termômetro. Um calorímetro simples (veja a figura) consiste num cilindro metálico polido, colocado num outro cilindro metálico sobre cortiça (para isolamento térmico).^[5]

O cilindro interno é enchido com água ou algum outro líquido de calor específico conhecido. Um corpo de massa m, e capacidade calorífica específica c, aquecido a uma certa temperatura T é imergido no calorímetro de massa m₁ e capacidade calorífica c₁ na qual a temperatura é medida. Suponha que a temperatura deste líquido de m₂ e capacidade calorífica específica c₂ no calorímetro é T’ antes de o corpo ser emergido nele, e quando a temperatura do líquido e do corpo é a mesma, a temperatura torna-se T_f.

Da lei de conservação da energia e considerando o calor dissipado na vizinhança pelo objecto quente Q, o calor recebido pela água e pelo calorímetro que seja respectivamente Q₁ e Q₂ , mostra que a capacidade calorífica específica é

c={\frac {c_{1}m_{1}(T_{f}-T)+c_{2}m_{2}(T_{f}-T')}{m(T-T_{f})}}={\frac {(c_{1}m_{1}+c_{2}m_{2})(T_{f}-T')}{m(T-T_{f})}}

Fatores que afetam o calor específico[editar | editar código-fonte]

Representação de uma molécula vibrando.

Moléculas sofrem muitas vibrações características internas. A energia potencial armazenada nestes graus de liberdade internos contribui para uma amostra do conteúdo de energia, mas não a sua temperatura. Graus de liberdade mais internos tendem a aumentar a capacidade de uma substância de calor específico, contanto que as temperaturas são suficientemente elevadas para superar os efeitos quânticos.

Graus de liberdade[editar | editar código-fonte]

O comportamento termodinâmico das moléculas dos gases monoatômicos, como hélio, e dos gases diatômicos, como o nitrogênio, é muito diferente. Em gases monoatômicos, a energia interna é unicamente para movimentos de translação. Os movimentos são movimentos de translação em um espaço tridimensional em que as partículas se movem e trocam energia em colisões elásticas da mesma forma como fariam bolas de borracha colocadas num recipiente que foi agitado fortemente. (Veja animação aqui). Estes movimentos nas dimensões X, Y, e Z significam que os gases monoatômicos tem apenas três graus de liberdade de translação. Moléculas com maior atomicidade, no entanto, tem vários graus de liberdade interna, rotacionais e vibracionais. Elas se comportam como uma população de átomos que podem se mover dentro de uma molécula de formas diferentes (veja a animação à direita). A energia interna é armazenada nesses movimentos internos. Por exemplo, o nitrogênio, que é uma molécula diatômica, tem cinco graus de liberdade: três de translação e dois de rotação interna. Note que a calor específico molar a volume constante do gás monoatômico é

{\frac {3}{2}}R

, sendo R a constante universal do gás ideal, ao passo que para o valor do nitrogênio (diatômico) vale

{\frac {5}{2}}

, o que mostra claramente a relação entre os graus de liberdade e ao calor específico.

c_{v}=({\frac {f}{2}})R

onde

f

é o número de graus de liberdade.

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Massa molar[editar | editar código-fonte]

Uma razão pela qual o calor específico tem valores diferentes para diferentes substâncias é a diferença de massas molares, que é a massa de um mol de qualquer elemento, que é diretamente proporcional à massa molecular do elemento, a soma dos valores das massas atômicas da molécula em questão. A energia térmica é armazenada pela existência de átomos ou moléculas de vibração. Se uma substância tem uma massa molar mais leve, em seguida, cada grama de que tem mais átomos ou moléculas disponíveis para armazenar energia. Esta é a razão pela qual o hidrogênio, a substância com menor massa molar tem um calor específico muito elevado. A consequência deste fenômeno é a de que, quando se mede o calor específico em termos molares a diferença entre substâncias torna-se menos acentuada e o calor específico de hidrogênio para de ser atípico. Da mesma forma, as substâncias moleculares (também absorvem calor em seus graus de liberdade internos) pode armazenar grandes quantidades de energia por mol se é moléculas grandes e complexas, e, portanto, seu calor específico medido em massa é menos perceptível . Uma vez que a densidade média de um elemento químico está fortemente relacionada com a sua massa molar, em termos gerais, há uma forte correlação inversa entre a densidade do sólido e o

c_{p}

(calor específico a pressão constante). Lingotes sólidos grandes de baixa densidade tendem a absorver mais calor do que um lingote pequeno de mesma massa, porém com densidade mais elevada que o primeiro, porque contém mais átomos. Por conseguinte, em termos gerais, há uma forte correlação entre o volume de um elemento sólido e a sua capacidade total de calor. No entanto, existem muitos desvios desta correlação.

As ligações de hidrogênio[editar | editar código-fonte]

Contendo hidrogênio na sua composição, moléculas polares como o etanol, amônia e água, têm poderosas ligações intermoleculares de hidrogênio quando em sua fase líquida. Estas ligações proporcionam um outro local em que o calor pode ser armazenado como energia potencial de vibração, mesmo em baixas temperaturas comparativamente.

Impurezas[editar | editar código-fonte]

No caso de ligas, existem certas condições em que as pequenas impurezas podem alterar grandemente o calor específico medido. As ligas podem mostrar uma diferença marcada no seu comportamento, mesmo que a impureza em questão seja um dos elementos que formam a liga, tais como ligas impuras em semicondutores ferromagnéticos que podem conduzir a medições muito diferentes.

A tabela abaixo apresenta o calor específico de algumas substâncias à pressão constante de 1 atm.

Substância	Calor Específico (cal/g.°C)
água	1,0
álcool	0,58
alumínio	0,22
ar	0,24
carbono	0,12
chumbo	0,031
cobre	0,094
ferro	0,11
gelo	0,5
hélio	1,25
hidrogênio	3,4
latão	0,092
madeira	0,42
mercúrio	0,033
nitrogênio	0,25
ouro	0,032
oxigênio	0,22
prata	0,056
rochas	0,21
vidro	0,16
zinco	0,093

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

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Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

segunda-feira, 29 de abril de 2019

A emissão alfa, desintegração alfa ou decaimento alfa é uma forma de decaimento radioativo que ocorre quando um núcleo atômicoinstável emite uma partícula alfa transformando-se em outro núcleo atômico com número atômico duas unidades menor e número de massa 4 unidades menor. A emissão alfa, portanto, é composta da mesma estrutura de núcleos do átomo de hélio. Uma emissão alfa é igual a um núcleo de hélio, que por sua vez, um núcleo atômico de hélio contém em seu interior dois prótons e dois nêutrons e a diferença entre a emissão alfa e o átomo de hélio é que na emissão alfa ela tem dois elétrons retirados da eletrosfera. Portanto, a partícula alfa tem carga positiva +2 (em unidades atômicas de carga) e 4 unidades de massa atómica.

Em 1896, o físico francês Antoine Henri Becquerel, em seus estudos sobre substâncias fosforescentes, verificou que compostos de urânio, causavam manchas escuras em chapas fotográficas, e mais tarde pode evidenciar que a radiação emitida pelo composto de urânio não era devida ao fenômeno de fosforescência e sim devido a radiação invisível emitida pelo composto de urânio, ou seja, o composto de urânio tinha uma atividade própria para emitir “raios” invisíveis. E a partir de 1898, o estudo da radioatividade começou realmente a se desenvolver e outros elementos radioativos foram descobertos, inclusive o rádio, de onde veio o nome “radioativo”.

Comprovou-se que um núcleo muito energético, por ter excesso de partículas ou de carga, tende a estabilizar-se, emitindo algumas partículas.

Ao desintegrar-se, os átomos dos elementos radioativos emitem energia na forma de radiação. A descoberta da radiação trouxe o conhecimento da existência das partículas subatômicas: os prótons e nêutrons (que compõem o núcleo do átomo) e os elétrons que se movimentam a altas velocidades.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As partículas

\alpha

são núcleos de hélio e têm uma interação forte com a matéria, sendo rapidamente absorvidas.

A partícula

\alpha

escapa do núcleo com uma maior frequência do que outros núcleos menores, como o deutério, devido a sua energia de ligação (

\scriptstyle E_{\alpha }\approx 28MeV

, ou

\scriptstyle 7MeV

por cada núcleo), comparando-se com o dêuteron,

\scriptstyle Ed\approx 2MeV

. O tunelamento quântico é capaz de explicar este fenômeno^[1]

O decaimento alfa tem uma propriedade de decrescer o número atômico de massa A por 4 unidades. Assim, os produtos de uma cadeia de decaimentos alfa terão produtos cujas massas atômicas se diferenciam por quatro unidades. Temos quatro séries radioativas:

1ª Série é dada pelos núcleos com número atômico divisível

por 4 e que, decaindo, perdem uma partícula alfa e ficam na mesma série.

2ª Série Núcleos com número atômico dado por A = 4n + 1.
3ª Série Núcleos com número atômico dado por A = 4n + 2.
4ª Série Núcleos com número atômico dado por A = 4n + 3.

Na tabela , são mostradas essas séries. O Neptúnio já não pode mais ser encontrado na natureza, uma vez que seu tempo de vida é cerca de

10^{10}

anos.Porém, podendo ser fabricado em laboratório.^[1]

Núcleos também podem se desintegrar de dois modos.O bismuto (Bi) desintegra-se em uma taxa de 66,3% emitindo radiação

\beta

e 33,7% emitindo partículas

\alpha

. A cadeia de desintegração ramifica-se assim: Um dos isótopos do rádio tem uma meia-vida de 5 horas.

Cadeia de Desintegração

{\begin{aligned}\lambda ={\frac {\ln 2}{T_{1/2}}}={\frac {0,693}{5\times 3.600s}}=3,85\times 10^{-5}{\text{seg}}^{-1}\end{aligned}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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P l Ml tfefel

Ta l Rl

O produto do decaimento do Urânio é o Tório.O processo dá-se por:

^{238}U\rightarrow ^{234}Th+\alpha

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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Ta l Rl

A energia cinética com a qual a partícula viaja, tendo a partícula alfa que sai do núcleo atômico provém da diferença de massas de repouso dos dois núcleos inicial e final.

Q=(M_{U}-M_{Th}-m_{\alpha })c^{2}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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Ta l Rl

Olhando a tabela de massas, temos

Q=(221.697,68-217.965,99-3.727,41){\text{MeV}}=4,28{\text{MeV}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Ta l Rl

Essa, porém, não é a energia cinética da partícula alfa. Por causa da conservação de momento. O núcleo inicial tem momento nulo. Isto quer dizer que o estado final também tem que ter momento nulo, e portanto, existe um recuo do Th que custa energia, embora seja praticamente imperceptível dada a sua massa. Q é portanto a energia cinética total do sistema, isto é,

Q={\frac {p^{2}}{2M_{Th}}}+{\frac {p^{2}}{2m\alpha }}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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onde p é o momento da partícula alfa e que é igual ao do átomo de Th.

Colocando em evidência a massa da partícula alfa, temos

Q={\frac {p^{2}}{2m\alpha }}{\Bigg (}1+{\frac {m\alpha }{M_{Th}}}{\Bigg )}={\frac {p^{2}}{2m\alpha }}{\Bigg (}1+{\frac {4}{A-4}}{\Bigg )},

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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{\frac {p^{2}}{2m\alpha }}={\frac {Q(A-4)}{A}}

Assim temos

{\frac {p^{2}}{2m\alpha }}={\frac {4,28.234}{238}}\approx 4,21{\text{MeV}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Taxa de decaimento[editar | editar código-fonte]

Um modelo de explicação sobre a taxa de decaimento alfa foi proposto por George Gamow, onde se têm uma partícula formada no núcleo atômico com um potencial

\scriptstyle V(r)

, que combina o seu potencial nuclear entre o núcleo (A-Z,Z-2) e a partícula alfa.^[2]

Potencial decaimento alfa

O modelo também nos diz que a partícula alfa a um potencial constante no núcleo e ao potencial de coulomb fora do núcleo de raio R. A probabilidade de a partícula escapar do núcleo é dada por P=e^-γ, sendo

\gamma ={\frac {2}{\hbar }}\int _{R}^{a}[2m(V(x)-Q)]^{1/2}dx

(Z)

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

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Ta l Rl

Sendo P a probabilidade da partícula chegar na superfície do núcleo e 1 - P de continuar nele.

Em um modelo semi clássico, multiplicamos a probabilidade do escape pela frequência com que a partícula chega na superfície, temos assim

f\approx {\frac {v}{R}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Ta l Rl

sendo v representando a velocidade com que a partícula alfa se move no núcleo, com isso dá-se a taxa de decaimento

\scriptstyle w_{\alpha }

, é

w_{\alpha }\approx {\frac {v}{R}}e^{-\gamma }

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Calculamos o expoente

\scriptstyle \gamma

a partir da equação (Z) e fica assim:

V(r){\frac {2Ze^{2}}{r}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Exemplo[editar | editar código-fonte]

{}^{2}{}_{92}^{38}{\hbox{U}}\;\to \;{}^{2}{}_{90}^{34}{\hbox{Th}}\;+\;{}_{2}^{4}{\hbox{He}},

que também pode ser escrito assim:

{}^{238}{\hbox{U}}\;\to \;^{234}{\hbox{Th}}\;+\;\alpha .

A partícula alfa é um núcleo de um átomo de hélio. Portanto, a partícula alfa ou “raio alfa’’ é um íon de carga 2+ com dois nêutrons e dois prótons, representado por ⁴He²⁺.^[3]

As partículas alfa apresentam grande poder de ionização devido a sua carga. No entanto, seu poder de penetração é inferior ao da partícula beta, dos raios-X e dos raios gama.

Na altura em que foi descoberta a emissão do rádio 226 (1898), por Marie Curie e Pierre Curie, chamou-se ao fenómeno radioactividade

\alpha

ou emissão

\alpha

Às partículas emitidas deu-se o nome de partículas

\alpha

apenas por ser a primeira letra do alfabeto grego.

Posteriormente, verificou-se que essas partículas eram um núcleo de hélio, formado por 2 prótons e 2 nêutrons. As partículas

\alpha

emitidas apresentam energias bem definidas e podem ser utilizadas para caracterizar o núcleo de onde provêm.

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

domingo, 28 de abril de 2019

Na mecânica quântica, um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis). O espaço de Hilbert descrevendo tal sistema é bidimensional. Portanto, uma base completa que liga o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit.

Representação do sistema quântico de dois estados[editar | editar código-fonte]

O estado de um sistema quântico de dois estados pode ser descrito por um espaço bidimensional complexo de Hilbert. Isso significa que cada vetor de estado

\vert \psi \rangle

é representado por duas coordenadas complexas:

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};

onde,

c_1

and

c_2

são as coordenadas.

x

c={\frac {C}{m}}\,\!

Se os vetores são normalizados,

c_1

c_2

são relacionados por

{|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1

. Os vetores base são representados como

|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

Todas as grandezas físicas observáveis associadas a este sistema são matrizes Hermitianas 2

\times

2 . O Hamiltoniano do sistema é também uma matriz Hermitiana 2

\times

x

c={\frac {C}{m}}\,\!

e as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

-{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)

com este potencial pode ser encontrado em virtude da substituição

u=\mathrm {tanh(x)}

, que produz

\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0

Assim as soluções

\psi (u)

(são apenas as funções de Legendre

P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))

com

E={\frac {-\mu ^{2}}{2}}

, e

\lambda =1,2,3\cdots

\mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda

.^[2]^[3] Além disso, os autovalores e os dados de espalhamento podem ser explicitamente computados^[4]

No caso especial do inteiro

\lambda

, o potencial é sem reflexão e tais potenciais também surgem como as soluções de sóliton N da equação de Korteweg-de Vries.^[5]^[6]

A forma mais geral do potencial é dada por^[1]

V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).

x

c={\frac {C}{m}}\,\!

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI]

c={\frac {C}{m}}\,\!

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

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A capacidade térmica, por sua vez, é definida como a razão entre calor recebido e variação de temperatura observada. Assim, o calor específico pode ser expresso como:

ΤGFE

c={\frac {1}{m}}{\frac {\delta Q}{\delta T}}

x

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

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O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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terça-feira, 30 de abril de 2019

Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento brownianoprimeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.^[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.

Uma representação simples de um processo de Wiener tridimensional

O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.^[2]

O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica^[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

Caracterizações do processo de Wiener[editar | editar código-fonte]

O processo de Wiener $W_{t}$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:^[4]^[5]

$W_{0}=0$ q.c.
$W$ tem incrementos independentes: para todo $t>0$ , os incrementos futuros $W_{t+u}-W_{t}$ , $u\geq 0$ , são independentes dos valores passados $W_{s}$ , $s\leq t$ .
$W$ tem incrementos gaussianos: $W_{t+u}-W_{t}$ é normalmente distribuído com média $0$ e variância $u$ , $W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u)$
$W$ tem caminhos contínuos: com probabilidade $1$ , $W_{t}$ é contínuo em $t$ .

Por incrementos independentes, diz-se que, se

0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}

_, então

W_{t1}-W_{s1}

W_{t2}-W_{s2}

são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para

n

incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com

W_{0}=0

e variação quadrática

[W_{t},W_{t}]=t

(o que significa que

W_{t}^{2}-t

é também um martingale).

Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes

N(0,1)

. Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de

0

ao tempo

t

) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância

1

e média

0

O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que

\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

é um processo de Wiener para qualquer constante

\alpha

não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas

g

, com

g(0)=0

, induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

Processo de Wiener como um limite do passeio aleatório[editar | editar código-fonte]

Considere

\xi _{1},\xi _{2},\ldots

variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média

0

e variância

1

. Para cada

n

, defina um processo estocástico de tempo contínuo

W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k}

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de

W_{n}

são independentes porque

\xi _{k}

são independentes. Para

n

grande,

W_{n}(t)-W_{n}(s)

é próximo de

N(0,t-s)

pelo teorema central do limite. Conforme

n\to \infty

W_{n}

se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.^[6]

Propriedades de um processo de Wiener unidimensional[editar | editar código-fonte]

Propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a

0

e variância igual a

t

, em um tempo fixado

t

f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

O valor esperado é zero:

E[W_{t}]=0.

A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:

\operatorname {Var} (W_{t})=E\left[W_{t}^{2}\right]-E^{2}[W_{t}]=E\left[W_{t}^{2}\right]-0=E\left[W_{t}^{2}\right]=t.

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Covariância e correlação[editar | editar código-fonte]

A covariância e a correlação:

\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t),

\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}.

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim

W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).

Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que

t_{1}<t_{2}

\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].

Substituindo

W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}

Chegamos em:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}

Já que

W(t_{1})=W(t_{1})-W(t_{0})

W(t_{2})-W(t_{1})

são independentes,

\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.

Assim

\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.

x

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Representação de Wiener[editar | editar código-fonte]

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se

\xi _{n}

são variáveis gaussianas independentes com média

0

e variância

1

, então

W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

representa um movimento browniano em

[0,1]

. O processo escalado

{\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)

x

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é um movimento browniano em

[0,c]

(vide teorema de Karhunen-Loève).

Máximo corrente[editar | editar código-fonte]

A distribuição conjunta do máximo corrente

M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}

W_{t}

f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.

Para obter a distribuição incondicional de

f_{M_{t}}

, integra-se ao longo de

-\infty <w\leq m

{\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0.\end{aligned}}

E o valor esperado^[7]

\operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}

x

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Se em

t

o processo de Wiener tem um valor conhecido

W_{t}

, é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo

[0,t]

(vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

Autossemelhança[editar | editar código-fonte]

Uma demonstração do escalamento browniano, mostrando que

V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}

para c decrescente. Note que as características gerais da função não mudam enquanto se aproxima e que a velocidade da ampliação na horizontal é igual ao quadrado da velocidade da ampliação na vertical.

Escalamento browniano[editar | editar código-fonte]

Para todo

c>0

, o processo

V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}

é outro processo de Wiener.

Reversão de tempo[editar | editar código-fonte]

O processo

V_{t}=W_{1}-W_{1-t}

para

0\leq t\leq 1

é distribuído como

W_{t}

para

0\leq t\leq 1

Inversão de tempo[editar | editar código-fonte]

O processo

V_{t}=tW_{1/t}

é outro processo de Wiener.

Uma classe de martingales brownianos[editar | editar código-fonte]

Se uma função polinomial

p(x,t)

satisfaz a equação diferencial parcial

\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

então o processo estocástico

M_{t}=p(W_{t},t)

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

é um martingale.

Exemplo:

W_{t}^{2}-t

é um martingale, que mostra que a variação quadrática de

W

[0,t]

é igual a

t

. Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de

W

(-c,c)

é igual a

c^{2}

Mais geralmente, para toda função polinomial

p(x,t)

, o seguinte processo estocástico é um martingale:

M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

em que

a

é a função polinomial

a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).

Exemplo:

p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},

a(x,t)=4x^{2};

o processo

(W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s

é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale

W_{t}^{2}-t

on [0, t]

[0,t]

é igual a

4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.

Algumas propriedades de caminhos amostrais[editar | editar código-fonte]

O conjunto de todas as funções

w

com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

Propriedades qualitativas[editar | editar código-fonte]

Para todo $\varepsilon >0$ , a função $w$ assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em $(0,\varepsilon )$ .
A função $w$ é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass).
Pontos do máximo local da função $w$ são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se $w$ tem um máximo local em $t$ , então

\lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

O mesmo se aplica a mínimos locais.

A função $w$ não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum $t>0$ satisfaz as seguintes condições para algum $\varepsilon$ em $(0,t)$ : em primeiro lugar, $w(s)\leq t$ para todo $s$ em $(t-\varepsilon ,t)$ , e em segundo lugar, $w(s)\geq w(t)$ para todo $s$ em $(t,t+\varepsilon )$ . O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de $w$ em $(t-\varepsilon ,t+\varepsilon )$ . O mesmo se aplica ao decrescimento local.
A função $w$ é de variação limitada em todo intervalo.
A variação quadrática de $w$ ao longo de $[0,t]$ é $t$ .
Os zeros da função $w$ são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff $1/2$ (portanto, incontável).

Propriedades quantitativas[editar | editar código-fonte]

Lei do logaritmo iterado[editar | editar código-fonte]

\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{quase certamente}}.

Módulo de continuidade[editar | editar código-fonte]

Módulo local de continuidade:

\limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.

Módulo global de continuidade (Lévy):

\limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.

Tempo local[editar | editar código-fonte]

A imagem da medida de Lebesgue em

[0,t]

sob o mapa

w

(a medida imagem) tem uma densidade

L_{t}(\cdot )

. Assim,

\int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x

x

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para uma ampla classe de funções

f

(nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade

L_{t}

é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número

L_{t}(x)

é chamado de tempo local em

x

w

ao longo de

[0,t]

. É estritamente positiva para todo

x

do intervalo

(a,b)

, em que

a

b

são o menor e o maior valor de

w

[0,t]

, respectivamente. Para

x

fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis

x

t

, o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de

t

(em que

x

está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de

w

Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

Processos relacionados[editar | editar código-fonte]

Processos de Wiener com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).

Processos de Wiener bidimensionais com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).

Um gerador de movimento browniano é o produto do operador de Laplace-Beltrami por 0,5. A imagem acima é de um movimento browniano em uma variedade especial: a superfície de uma esfera.

O processo estocástico definido por

X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}

é chamado de processo de Wiener com deriva

\mu

e variância infinitesimal

\sigma ^{2}

. Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo

[0,1]

aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de

[0,1]

. Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em

[0,1]

e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em

[0,1]

, o processo é chamado de excursão browniana.^[8]Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula

P(A|B)=P(A\bigcap B)/P(B)

não se aplica quando

P(B)=0

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como

e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.

É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.

O processo estocástico

X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.

O tempo de chegada a um único ponto

x>0

pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos

x

) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados

[0,x]

O tempo local

L=(L_{t}^{x})_{x\in R,t\geq 0}

de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto

x

. Formalmente,

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds

em que

\delta

é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

Martingales brownianos[editar | editar código-fonte]

Considere

A

um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e

X_{t}

a probabilidade condicional de

A

dado o processo de Wiener no intervalo de tempo

[0,t]

(mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em

[0,t]

pertence a

A

). Então, o processo

X_{t}

é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.

Movimento browniano integrado[editar | editar código-fonte]

A integral do tempo do processo de Wiener

W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)ds

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição

N(0,t^{3}/3)

, usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é

t\wedge s=\min(t,s)

.^[9]

Mudança de tempo[editar | editar código-fonte]

Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.

Exemplo:

2W_{t}=V(4t)

, em que

V

é outro processo de Wiener (diferente de

W

, mas distribuído como

W

Exemplo:

W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}

, em que

A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s

V

é outro processo de Wiener.

Geralmente, se

M

for um martingale contínuo, então

M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}

, em que

A(t)

é a variação quadrática de

M

[0,t]

V

é um processo de Wiener.

Corolário: Considere

M_{t}

um martingale contínuo e

M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},

M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.

Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:

-\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,

-\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;

outros casos (tais como

M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,

M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty

, etc.) são de probabilidade

0

Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como

t\rightarrow\infty

) quase certamente.

Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.

Mudança de medida[editar | editar código-fonte]

Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.

Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.^[10]^[11]

Processo de Wiener de valores complexos[editar | editar código-fonte]

O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma

Z_{t}=X_{t}+iY_{t}

em que

X_{t},Y_{t}

são processos de Wiener independentes (de valores reais).^[12]

Autossemelhança[editar | editar código-fonte]

O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.

Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo

c

tal que

\left\vert c\right\vert =1

, o processo

cZ_{t}

é outro processo de Wiener de valores complexos

Mudança de tempo[editar | editar código-fonte]

f

for uma função inteira, então, o processo

f(Z_{t})-f(0)

é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.

Exemplo:

Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}

em que

A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s

x

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI] X ΤG X Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

U

é outro processo de Wiener de valores complexos.

Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2X_t + iY_t

2X_{t}+iY_{t}

não é (aqui

X_{t},Y_{t}

são processos de Wiener independentes, assim como antes).

ΤGFE [TRANSIÇÕES DE FASES ESPECÍFICAS GRACELI]

ΤG

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl